Dal precedente articolo abbiamo analizzato nello specifico la maggior parte degli strumenti elettronici che circonda la nostra vita, constatando che possiedono un circuito all’interno incaricato di svolgere varie operazioni; Inoltre, conosciamo una delle possibili metodologie utili alla comprensione del problema (il metodo scientifico), per la conseguente progettazione del circuito, prima ancora di costruirlo.

Abbiamo anche visto che esiste una definizione sia di circuito sia di elementi circuitali che lo compongono, soprattutto, ricorriamo all’ equazione circuitale per descrivere il funzionamento di un circuito, la quale  necessita non solo delle equazioni caratteristiche attinenti agli elementi circuitali, ovvero i bipoli, ma anche delle equazioni di interconnessione che determinano come i vari bipoli sono collegati tra loro al fine di realizzare le funzionalità individuate.

Ciononostante, è necessario sia comprendere la teoria alla base sia utilizzare un metodo opportuno per la progettazione. Nel corso degli articoli vedremo altre metodologie di progettazione, alcune più consone per l’intento progettuale, altre che offriranno degli spunti di riflessione interessanti, mentre possiamo riprendere la teoria dal campo elettrico, uno dei primi protagonisti che abbiamo individuato, il quale permette poi di introdurre e la tensione e l’intensità di corrente, quindi le leggi che ci permettono di definire le equazioni di interconnessione di cui sopra.

L’algebra vettoriale per comprendere le forze attrattive e repulsive del campo elettrico

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Quando parliamo del fenomeno elettrostatico, allora, citiamo le forze attrattive e repulsive che intercorrono tra due cariche vicine, situate in uno spazio qualunque. Al fine di poter analizzare meglio tali forze in gioco, risulta utilissimo uno strumento matematico che spesso e volentieri è simboleggiato con la freccia, ma le informazioni che “trasporta” non sono così banali, ovverosia il vettore. 

In generale si è abituati a considerare una determinata quantità attinente ad una misurazione, ad esempio i secondi o i minuti passati per il tempo, oppure la lunghezza in metri o chilometri per raggiungere un determinato luogo o, ancora, i gradi Celsius per determinare la temperatura del corpo. Tutte queste citate sono definite come grandezze scalari, ovvero grandezze che necessitano solamente di una specifica quantità per poter essere individuate. In effetti, per la maggior parte delle misurazioni compiute, è sufficiente conoscere un unico dato che fornisce abbastanza informazioni quantitative. Viceversa, qualora abbiamo bisogno di individuare non solo una coordinata spaziale da cui parte un percorso (posizione iniziale), ma è necessario conoscere sia la coordinata spaziale dove termini (posizione finale), che le varie coordinate individuate dal percorso stesso, è immediato constatare che una semplice informazione quantitativa non è più sufficiente, anzi, risulterebbe utile avere ulteriori informazioni, quali direzioneverso. In quest’ultimo caso, dunque, possiamo ricorrere al concetto di vettore e definire una grandezza vettoriale

Dicesi vettore una quantità definita da un’ intensità, una direzione e un verso, rappresentabile graficamente mediante segmento orientato

Vettore

Il segmento orientato in questione è definito da un punto di applicazione, l’estremo in cui ha origine il vettore, quindi da un estremo libero che individua un oggetto situato in una determinata posizione. Una prima forma per esprimere una grandezza vettoriale (o più propriamente vettore) è la forma assoluta, la quale individua il vettore mediante le relative componenti

\[

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\vec v= (v_{1}, v_{2}, v_{3})

\]

dove $ \vec v $ è la notazione solita per indicare il vettore, mentre $ v_{1}, v_{2}, v_{3} $ sono le componenti sopra citate. L’intensità del vettore in esame, quindi, è data dalla formula 

\[ v = \sqrt{ (v_{1})^2 + (v_{2})^2 + (v_{3})^2} \]

cioè la radice quadrata della somma delle componenti elevate al quadrato.  Da notare che l’intensità è una quantità numerica (scalare) e si è soliti indicarla senza il tipico simbolo. Risulta chiaro che le componenti sono quantità numeriche (scalari) e possono essere due (in caso bidimensionale), tre (tridimensionale) o, ancora, un numero qualsiasi, n-dimensionale). Qualora l’intensità del vettore, poi, sia pari a uno (unitaria), si parla di versore, indicato con notazione $ \hat v $ e particolare rilevanza assumono i versori canonici, che permettono l’individuazione degli assi cartesiani noti:

  • il versore  $ \hat{i} $  per l’asse delle ascisse $ x $  avente componenti  $ \hat{i} = (1,0,0) $
  • il versore $ \hat{j} $ per l’asse delle ordinate  $ y $   avente componenti  $ \hat{j} = (0,1,0) $ 
  • il versore $ \hat{k} $  per l’asse delle quote  $ z $  avente componenti  $ \hat{k} = (0,0,1) $ 
versori-spazio-cartesiano
I versori necessari all’individuazione degli assi in uno spazio cartesiano

Attraverso i versori, è possibile introdurre una seconda forma di rappresentazione per grandezze vettoriali, detta forma cartesiana, per la quale il vettore è dato dalla somma dei prodotti tra le sue componenti e i versori associati agli assi

\[ \vec v = v_{1}\hat{i} + v_{2}\hat{j} + v_{3}\hat{k} = v_x + v_y + v_z \]

dove sono state poste le seguenti uguaglianze sulle componenti

\[ v_{x} = v_{1}\hat{i} \]

\[ v_{y} = v_{2}\hat{j} \]

\[ v_{z} = v_{3}\hat{k} \]

vettore-proiezioni-componenti-3d
Vettore e sue componenti ricavate dalle proiezioni

Tale forma risulta essere più utile nella pratica, poiché permette di utilizzare gli assi cartesiani come sistema di riferimento, quindi di poter individuare un qualunque corpooggetto nello spazio cartesiano. È sufficiente un esempio in due dimensioni (bidimensionale):

Siete fermi ad un incrocio, nel quale vedete una macchina muoversi curvando verso destra davanti a voi. Provate a schematizzare il moto della macchina su di un piano cartesiano

È sufficiente considerare il piano cartesiano, l’osservatore (voi, fermi ad un incrocio) e l’oggetto delle osservazioni (la macchina che curva); Per semplicità poniamo l’osservatore presso l’origine degli assi $ O $ avente coordinate $ O(0,0) $, ne consegue che il percorso effettuato dalla macchina avrà, come sopra detto, una posizione iniziale $p_i $ ed una finale $ p_f $

percorso-curva-esempio
La curva ipotetica descritta dalla macchina osservata

A questo punto, per individuare le coordinate dei punti $ p_i $ e $ p_f $, possiamo procedere individuando le proiezioni degli stessi punti lungo gli assi per poi effettuare i possibili calcoli, tenendo conto della curva non canonica (di difficile valutazione)

proiezioni-punti-esempio
Le proiezioni lungo gli assi dei punti

Da tale procedura, perdiamo un importante informazione, ovvero la posizione dell’osservatore rispetto il percorso effettuato. Per mantenere tale informazione, è sufficiente considerare due vettori $ \vec v_i $ per individuare il punto $ p_i $ e $ \vec v_f $ per il punto $ p_f $

I vettori consentono di individuare una posizione (o coordinata) rispetto un osservatore

Sarà sufficiente considerare le proiezioni dei vettori per individuare le coordinate dei punti, oltre che poter calcolare più agevolmente il percorso senza considerare la curva.

La forma cartesiana, inoltre, offre un ulteriore forma rappresentativa di un vettore, dove gli angoli formati tra lo stesso vettore e i rispettivi assi assumono una determinata connotazione $ \alpha, \beta $ e permettono di esprimere il vettore attraverso la notazione polare,  che esula dal seguente articolo.

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Le operazioni vettoriali

Una volta definito l’oggetto matematico vettore, è conseguente la definizione delle possibili operazioni

Prodotto per uno scalare

Dato un generico scalare $a$ e un vettore $\vec v$, il prodotto di un vettore per uno scalare restituisce un vettore $ \vec r $ avente intensità pari al prodotto tra lo scalare $ a $ e l’intensità del vettore $ \vec v $, direzione data dal vettore e verso concorde con $ \vec v $ se lo scalare $ a $ è positivo,  viceversa opposto 

\[ a \vec v  = \vec r \]

In forma cartesiana, tale operazione corrisponde al prodotto dello scalare $ a $ per le componenti del vettore $ \vec v $

\[ a \vec v  = (a v_x, a v_y, a v_z) \]

In particolare:

  • Se l’intensità del vettore $ \vec v $ è nota $ v $ e lo scalare è pari a $ a = \frac{1}{v} $, il prodotto per lo scalare restituisce un versore $ \frac{1}{v} \vec v = \hat v $
  • Se lo scalare è pari all’unità negativa $ a = -1 $, il prodotto per lo scalare restituisce un vettore $ \vec r $ equivalente al vettore di partenza $ \vec v $ per intensità e direzione, ma avente verso opposto 
Risultati particolari con l’operazione prodotto per uno scalare

Somma vettoriale

Dati due vettori $ \vec v $ e $ \vec r $, si dice somma vettoriale il vettore risultante $ \vec s $ avente per componenti la somma delle componenti dei vettori assegnati $ \vec v $ e $ \vec r $

\[ \vec s = \vec v + \vec r = (v_x + r_x, v_y + r_y, v_z + r_z) = (v_x + r_x)\hat i + (v_y + r_y)\hat j + (v_z + r_z)\hat k \]

Valgono le seguenti proprietà

  • Proprietà commutativa: l’ordine degli addendi non influisce sul risultato \[ \vec v + \vec r  = \vec r + \vec v \]
  • Proprietà associativa: non vi è una priorità nell’eseguire le operazioni \[\vec v + ( \vec r + \vec w) = (\vec v + \vec r) + \vec w \] 
  • Regola del parallelogramma: La somma di due vettori $ \vec v + \vec r $ aventi medesimo punto d’applicazione equivale alla diagonale del parallelogramma cui lati sono definiti dagli stessi vettori di partenza
vettori-somma-parallelogramma
Applicazione della regola del parallelogramma

Il vettore così ottenuto $ \vec s $ si dice risultante e presenta intensità pari alla lunghezza della diagonale del parallelogramma avente lati $ \vec v $ e $ \vec r $, direzione data dalla stessa diagonale e verso dal punto d’applicazione fino all’estremo opposto.

  • Regola del testa coda: Qualora sia necessario sommare più vettori, è sufficiente che l’estremo libero di un vettore sia punto d’applicazione per il successivo
La regola testa coda applicata sui vettori

Il vettore risultante avrà come punto di applicazione il medesimo punto di applicazione  del primo vettore utilizzato, mentre come estremo libero il medesimo dell’ultimo vettore.

Dalla somma, banalmente, discende la differenza vettoriale, da intendersi come somma del primo vettore per il prodotto tra il secondo vettore e lo scalare $ -1 $

\[ \vec v – \vec r = \vec v + (-1 \vec r) \]

Prodotto scalare

Si dice prodotto scalare  il prodotto tra due vettori $ \vec v$ e $ \vec r $ cui risultato restituisca una quantità scalare $ p $

\[ \vec v \cdot \vec r = p \]

Le discussioni teoriche, attinenti e al prodotto scalare e alla sua utilità, vengono rimandate ai diretti interessati (basta scrivere un commento o mandare una mail), ciononostante si elencano le proprietà fondamentali di questo per completezza di trattazione:

  • Forma assoluta: Il prodotto scalare equivale al prodotto delle intensità per il coseno dell’angolo compreso $ \theta $ \[ \vec v \cdot \vec r = v r \cos(\theta) \]
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Il prodotto scalare per i vettori espressi in forma assoluta
  • Forma cartesiana: Il prodotto scalare equivale alla somma dei prodotti delle rispettive componenti \[ \vec v \cdot \vec r = v_x r_x + v_y r_y + v_z r_z \]
  • Proprietà commutativa: \[ \vec v \cdot \vec r = \vec r \cdot \vec r \]
  • Proprietà distributiva: \[ \vec v \cdot (\vec r + \vec w) = (\vec r \cdot \vec v) + (\vec w + \vec v)   \]
  • Prodotto scalare del versore per se stesso: Il prodotto scalare  di un versore per se stesso è sempre uguale a $ 1 $ \[ \hat i \cdot \hat i = \hat j \cdot \hat j =\hat k \cdot \hat k = 1 \]
  • Prodotto scalare tra vettori perpendicolari: Il prodotto scalare tra due vettori perpendicolari tra loro è sempre nullo; Difatti, risulta sempre verificata la seguente:

\[ \hat i \cdot \hat j = \hat j \cdot \hat k =\hat k \cdot \hat i = 0 \]

Prodotto vettoriale

Ultima, ma non meno importante, operazione per i vettori;

Dati due vettori $ \vec v $ e $ \vec r $, si definisce prodotto vettoriale \[ \vec  v \times \vec r \] il vettore avente intensità equivalente al prodotto delle intensità dei vettori per il seno dell’angolo compreso, direzione ortogonale al piano in cui giacciono i vettori $ \vec v $ e $ \vec r $ e verso definito dalla rotazione del primovettore $ \vec v $ verso il secondo $ \vec r $ di senso antiorario (regola della mano destra)

Il prodotto vettoriale rappresentato graficamente

In particolare:

  • Forma assoluta: Il vettore risultante avrà per intensità pari a  \[ \vec v \times \vec r = vr\sin(\theta) \] in alternativa è possibile descrivere il vetore risultante mediante sue componenti cosi calcolabili

\[ \vec v \times \vec r  = { (v_{y} \ r_{z} \ -v_{z} r_{y}),  (v_{x} r_{z} \ -\ v_{z} r_{x}), ( v_{x} r_{y} \ -\ v_{y} r_{x}) } \]

  • Forma cartesiana: Questa gode di una rappresentazione matriciale \[ \vec{v} \ \times \vec{r} \ =\ \begin{vmatrix}
    \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
    v_{x} & v_{y} & v_{z}\\
    r_{x} & r_{y} & r_{z}
    \end{vmatrix} =\ ( v_{y} \ r_{z} \ -v_{z} r_{y})\hat{i} \ -\ ( v_{x} r_{z} \ -\ v_{z} r_{x})\hat{j} \ +\ ( v_{x} r_{y} \ -\ v_{y} r_{x})\hat{k} \]

Unica nota da riportare su questa operazione è la proprietà anticommutativa, cioè cambiando l’ordine degli termini il risultato cambia

\[  \vec v \times \vec r \ne \vec r \times \vec v \]

Con il prodotto vettoriale si conclude la trattazione dei vettori, anche se quest’ultimi diventeranno, in seguito, un comodo strumento per comprendere nozioni e applicazioni attinenti soprattutto all’elettrotecnica.

Nel prossimo articolo verrà esposto un piccolo progetto, un semplice microcontrollore che funge da aiuto in certe operazioni di postura e stretching.

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See you next project!

Author: Alessandro Giaquinto

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